Résumé:
Dans ce mémoire, nous nous intéressons `a l’analyse mathématique et numérique de
probl`emes de contrˆole optimal gouvern´es par des ´equations aux d´erivées partielles semilinéaires elliptiques. Trois grands axes sont considérées
1. Existence d’un controle optimal
2. Etablissement des conditions d’optimalité du premier et du second ordre
3. Approximation numériques
Les deux premiers points seront abord´es au premier chapitre, le dernier point au second
chapitre.
Mˆeme si l’objectif final est de d´eterminer un contrˆole optimal (i.e. un contrˆole admissible
minimisant une fonctionnelle donnée), nous devons contourner un certain nombre de difficult´es et résoudre des questions math´ematiques d´elicates. Pour garantir l’existence de
ce contrˆole optimal, nous avons besoin d’analyser l’existence, l’unicit´e et la régularité
des solutions de l’´equation d’´etat qui lui est associ´ee. La résolution num´erique de ce
probl`eme n´ecessite de discr´etiser le probl`eme de controle, ce qui est g´enéralement fait en
utilisant la m´ethode des ´el´ements finis. Afin d’´etablir les estimations d’erreur correspondantes, il est essentiel de garantir une certaine r´egularit´e du contrˆole optimal. Celle-ci
peut-ˆetre atteinte en utilisant les conditions d’optimalit´e du premier et du second ordre.
Pour ´etablir ces derniéres, nous avons en particulier besoin d’´etudier la solvabilit´e de
l’´equation adjointe.
Dans ce sens, la premi`ere ´etude compl`ete pour cette classe de probl`emes a ´et´e men´ee
dans [1] o`u tous ces aspects ont ´et´e considérés. Les estimations d’erreur a priori utilis´ees
dans ce papier, et correspondant `a l’´equation d’´etat semi-linéaire, ont ´et´e prouvés dans
[10].
Tous les d´etails li´es `a cette analyse seront repris et d´evelopp´es dans ce manuscrit. Nous
commen¸cons par le probl`eme continu, et avons opt´e pour une ´etude syst´ematique de
la solvabilité d’une classe d’edp linéaires. Les résultats obtenus sont alors g´en´eralis´es
(dans le méme esprit que [10]) au cas semi-linéaire o`u des estimations qui nous seront
utiles sont ´etablies. Nous ´etudions la continuité lipschitzienne et la différentiabilité au
sens de Gateaux de l’application qui au controle associe l’´etat et dérivons les conditions
v
d’optimalit´e du premier et du second-ordre. Utilisant ces derni`eres, nous caract´erisons
le contrˆole optimal et montrons qu’il h´erite de la r´egularit´e de l’´etat adjoint. Nous abordons ensuite l’approximation du probl`eme de contrˆole, analysons l’´equation d’´etat approch´ee, l’´equation d’´etat adjointe approch´ee, ´etablissons des estimations d’erreurs et
caract´erisons le contrˆole optimal approch´e. Finalement, nous montrons que le contrˆole
optimal approch´e converge vers le contrˆole optimal continu. Les notations et des r´esultats
auxiliaires sont plac´es en appendice `a la fin du manuscrit.
