Approximation d’un probléme de controle optimal gouverné par une EDP semi-linéaire elliptique

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous intéressons `a l’analyse mathématique et numérique de probl`emes de contrˆole optimal gouvern´es par des ´equations aux d´erivées partielles semilinéaires elliptiques. Trois grands axes sont considérées 1. Existence d’un controle optimal 2. Etablissement des conditions d’optimalité du premier et du second ordre 3. Approximation numériques Les deux premiers points seront abord´es au premier chapitre, le dernier point au second chapitre. Mˆeme si l’objectif final est de d´eterminer un contrˆole optimal (i.e. un contrˆole admissible minimisant une fonctionnelle donnée), nous devons contourner un certain nombre de difficult´es et résoudre des questions math´ematiques d´elicates. Pour garantir l’existence de ce contrˆole optimal, nous avons besoin d’analyser l’existence, l’unicit´e et la régularité des solutions de l’´equation d’´etat qui lui est associ´ee. La résolution num´erique de ce probl`eme n´ecessite de discr´etiser le probl`eme de controle, ce qui est g´enéralement fait en utilisant la m´ethode des ´el´ements finis. Afin d’´etablir les estimations d’erreur correspondantes, il est essentiel de garantir une certaine r´egularit´e du contrˆole optimal. Celle-ci peut-ˆetre atteinte en utilisant les conditions d’optimalit´e du premier et du second ordre. Pour ´etablir ces derniéres, nous avons en particulier besoin d’´etudier la solvabilit´e de l’´equation adjointe. Dans ce sens, la premi`ere ´etude compl`ete pour cette classe de probl`emes a ´et´e men´ee dans [1] o`u tous ces aspects ont ´et´e considérés. Les estimations d’erreur a priori utilis´ees dans ce papier, et correspondant `a l’´equation d’´etat semi-linéaire, ont ´et´e prouvés dans [10]. Tous les d´etails li´es `a cette analyse seront repris et d´evelopp´es dans ce manuscrit. Nous commen¸cons par le probl`eme continu, et avons opt´e pour une ´etude syst´ematique de la solvabilité d’une classe d’edp linéaires. Les résultats obtenus sont alors g´en´eralis´es (dans le méme esprit que [10]) au cas semi-linéaire o`u des estimations qui nous seront utiles sont ´etablies. Nous ´etudions la continuité lipschitzienne et la différentiabilité au sens de Gateaux de l’application qui au controle associe l’´etat et dérivons les conditions v

d’optimalit´e du premier et du second-ordre. Utilisant ces derni`eres, nous caract´erisons le contrˆole optimal et montrons qu’il h´erite de la r´egularit´e de l’´etat adjoint. Nous abordons ensuite l’approximation du probl`eme de contrˆole, analysons l’´equation d’´etat approch´ee, l’´equation d’´etat adjointe approch´ee, ´etablissons des estimations d’erreurs et caract´erisons le contrˆole optimal approch´e. Finalement, nous montrons que le contrˆole optimal approch´e converge vers le contrˆole optimal continu. Les notations et des r´esultats auxiliaires sont plac´es en appendice `a la fin du manuscrit.