Résumé:
Ce travail est consacré à la théorie de Nevanlinna ultra-métrique qui consiste à étudier les fonctions méromorphes. Cette théorie repose dans le cas complexe sur deux théorèmes fondamentaux appelés premier et deuxième théorème fondamental de Nevanlinna. Il est donc question d’établir l’analogue ultra-métrique de la fonction caractéristique T(r, f) de Nevanlinna, et de prouver aussi l’analogue de ces deux théorèmes fondamentaux et de donner les relations de défaut de la théorie classique de
Nevanlinna ultra-métrique.
Le résultat principal de ce travail est l’application de cette théorie à l’étude des solutions méromorphes de l'équation fonctionnelle.
D'abord, nous montrons que, si A0 (x),…, As (x) sont constants et B(x) ε k[x] où k est un corps ultra-métrique complet et algébriquement clos, alors les solutions sont des fonctions rationnelles. Ensuite, nous examinons les solutions de l'équation ci-dessus dans un cas plus général et nous donnons quelques caractérisations de l’ordre de croissance de ces solutions.
