Autour de la projection et la méthode des projections alternées

Abstract

On peut décrire le matériel présenté dans ce travail en trois chapitres, on commence par un chapitre introductif qui rappelle et présente les résultats fondamentaux et les concepts de base que l’on va utiliser dans les autres chapitres, notamment les notions de l’analyse convexe et de la topologie faible. Le deuxième chapitre est consacré à la notion fondamentale de projection. On va s’intéresser à étudier la fonction de projection tout en donnant les propriétés majeures de cette application avec différents types d’ensembles (convexes, s.e.v, cônes convexes), notamment ses caractérisations qui donnent des définitions alternatives plus simples et élégantes que l’on utilisera dans le dernier chapitre. Le dernier chapitre est dévolu à l’étude de la méthode des projection alternées en considérant deux types d’ensembles : l’intersection des sous espaces vectoriels et celle des ensembles convexes fermés. Dans la première partie, on présentera l’algorithme de Von Neumann ainsi que ses résultats de convergence. Cette présentation sera suivie par une étude sur la vitesse ou le taux de convergence qui sera décrit en terme d’angle formé par les sous espaces considérés. On traitera dans la deuxième partie, l’algorithme de Dykstra en donnant sa définition, en suite, on va démontrer le résultat de convergence de cette méthode. On terminera par une application qui utilise la méthode des projection alternées pour la résolution d’un système linéaire