Contrˆole des Syst`emes Dynamiques Chaotiques

Abstract

Le travail r´ealis´e dans le cadre de ce m´emoire se pr´esentera en trois chapitres. Apr`es une introduction g´en´erale o`u un bref historique sur le chaos et le contrˆole des syst`emes chaotiques est fait. Le premier chapitre est consacr´e aux d´efinitions des diff´erents outils math´ematiques qui nous servent `a mieux comprendre le comportement chaotique, tels que : les ensembles attracteurs [16, 22], les m´ethodes permettant la d´etermination du type de stabilit´e de leur ´etat d’´equilibre, la section de Poincar´e et la th´eorie de bifurcation. De plus, nous donnerons une pr´esentation des syst`emes dynamiques en ´ecologie. Le deuxi`eme chapitre pr´esente une introduction au chaos et la m´ethode du calcul des exposants de Lyapunov ´etant une quantit´e qui mesure la sensibilit´e aux conditions initiales [3, 19]. Dans la partie contrˆole, une description compl`ete de la m´ethode de contrˆole OGY est faite avec une application au syst`eme de H´enon. Dans le chapitre 3, nous analyserons un mod`ele ´ecologique de type Holling II de dimension trois [2, 14]. Nous montrerons que les solutions du syst`eme sont born´ees et nous ´etudierons la stabilit´e locale des points d’´equilibre triviaux ainsi que les bifurcations locales de ces derniers. Nous chercherons, ensuite, l’existence des points d’´equilibre int´erieur et nous montrerons sous certaines conditions la stabilit´e globale de l’unique point d’´equilibre int´erieur en exhibant une fonction de Lyapunov. Et enfin, des tests num´eriques nous permettront d’´etablir le caract`ere chaotique du mod`ele.