Principe de Pontryagin pour un problème de contrôle optimal gouverné par une EDP elliptique

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux conditions d'optimalié pour une classe de problémes de controle optimal gouvernés par des équations aux dériées partielles semi-lin éaires elliptiques. Deux grands axes sont considérés : L'analyse mathématique de l'équation d'état : rendue difficile par la présence d'un terme non-linéaire, celle-ci nécessite l'association d'un cadre fonctionnel adéquat et d'une formulation faible bien posée. L'étude de la solvabilité de cette derniére englobe l'existence d'une solution faible, son unicité, son éventuelle régularité, ainsi que l'obtention des estimations - 2- L 'établissement des conditions nécessaires d'optimalité : généralement obtenues par l'introduction de perturbations autour du controle, elles nécessitent une analyse ne de la variation engendrée par ces perturbations sur l'application associant l'état au controle ainsi que sur le cout a minimiser. Dans le cas que l'on considére, elle est rendue plus ardue par la présence conjointe de termes non-linéaires par rapport a la variable état et a la variable controle. Ces aspects seront analysés dans deux directions. Dans la premiére, traitée dans le chapitre 1, nous supposerons que l'ensemble des controles admissibles est convexe et que tous les termes non-linéaires sont dérivables par rapport a la variable controle. Les perturbations convexes s'imposent naturellement et nous permettent d'obtenir les résultats de différentiabilité nécessaires a l'établissement de conditions d'optimalié du premier ordre (ou encore de type Lagrange car elles peuvent ^etre obtenues en dérivant le Lagrangien associé au probléme par rapport au controle). Dans le chapitre 2, nous empruntons une autre direction : sans hypothése de convexité sur l'ensemble des controles admissibles ni de différentiabilité des non-linéarités par rapport a la variable controle. L'utilisation de perturbations diffuses permet d'obtenir des "développements de type Taylor" pour l'état et le cout, qui permettent d'exprimer ce dernier sous une forme Hamiltonienne et d'établir les conditions d'optimalité sous la forme d'un principe de Pontryagin.