Un problème de valeur initiale d’une équation différentielle à retard

Abstract

Les équations différentielles à retard constituent un champ d’étude très important pour modéliser des phénomènes d’hérédité rencontrés en physique, biologie, chimie, économie, écologie, etc. Malgré que dans la plupart des modèles, le retard est estimé non indicatif et ignoré pour simplifier l’étude, il a été prouvé que dans de nombreux cas, le retard joue un rôle dominant dans plusieurs domaines et que les modèles avec retard fournissent des résultats plus précis et réalistes que leurs homologues sans retard. À notre connaissance l’apparition de ces équations remonte au 18-ème siècle, elle est due à J. Bernoulli, L. Euler, J.L. Lagrange, P. Laplace, S. Poisson et d’autres : Par exemple, en 1728 dans ses expériences sur la corde vibrante et en partant d’une équation aux dérivées partielles de type hyper bolique, Bernoulli a trouvé l’équation à retard suivante : y0(t) = y(t − 1), Mais malheureusement il décida la tenir pour fausse et il est dit qu’il y a eu plusieurs erreurs à déduire l’équation. Ce type d’équations est resté cognitive jusqu’au début du 20 siècle et les travaux pionniers qui établissent le début de la théorie ont été dans la géométrie et la théorie des nombres et les premiers papiers traitant les équations fonctionnelles retardées linéaires sont dus à Polossuchin (1910) et Schmidt (1911). Dans l’âge d’or de l’écologie théorique, l’étude de ce type d’équations connut un essor considérable avec les séries de travaux de V. Volterra, sur les modèles prédateur-proie et les modèles de viscoélasticité. Il a utilisé la méthode d’énergie pour étudier une classe générale d’équations Introduction à retard non linéaires et il a écrit dans son oeuvre majeure sur le rôle des êtes héréditaires sur les modèles de la dynamique de plusieurs espèces en interaction. Il y a eu d’intensives recherches sur le sujet depuis 1940 (surtout en l’ex-Union soviétique). La régulation sur base de modèles linéaires et stationnaires avec retard fut abordée en 1941 par Y. Zypkin. En 1949 ; A. D. Myshkis a posé les bases de la théorie moderne des EDR. En particulier, il fut le premier à formuler l’énoncé du problème de Cauchy pour des équations à retard arbitraire. Les années cinquante, ont vu une explosion de la théorie qui a été largement développée et les EDR fait partie du vocabulaire des chercheurs travaillant sur la viscoélasticité, les problèmes mécaniques, les réacteurs nucléaires, le lux de chaleur, les réseaux de neurones, la combustion, l’interaction des espèces, les modèles microbiologiques, épidémiologiques ou physiologiques, ainsi que beaucoup d’autres. La littérature concernant les EDRs dans cette période est abondante et de nombreux travaux ont établi des résultats génériques dont on cite les résultats de Krasovskii, qui a étendu la deuxième méthode de Liapunov aux équations retardées, sans oublier aussi les travaux de Myshkis, Krasovskii , Bellman et Cooke, Halanay. Les années suivantes ont donné naissance à un grand nombre de travaux dans cette direction, et surtout ceux qui concerne l’analyse de la stabilité des équations différentielles, avec un argument retardé comme Elsgol’ts et Norkin, Hale, Hale et Lunel, Diekmann, Van Gils Lunel et Walther. Les équations différentielles avec des retards dépendant de l’état attirent l’intérêt des spécialistes car elles proviennent largement de modèles d’application, tels que le problème à deux corps de l’électrodynamique classique [14],[13], le contrôle de position [9],[6], les modèles mécaniques [20], transmission de maladies infectieuses [34], modèles de population [5],[27], la dynamique des systèmes économiques [4], etc. En tant que type spécial d’équations différentielles de retard dépendant de l’état, les équations différentielles itératives ont des caractéristiques distinctives et ont été étudiées ces dernières années, par ex. lissage [31],[10], équivariance [36], analyticité [32],[37],[38], monotonicité [16],[33], convexité [30] ainsi que solution numérique [28]. Dans la théorie des équations différentielles, l’un des problèmes fondamentaux et importants est le problème de la valeur initiale, il existe de nombreux résultats d’existence, [35] sur les équaIntroduction tions différentielles itératives spéciales. En 1984, Eder [16] a prouvé l’existence de la solution monotone unique pour la 2-ème équation différentielle itérative 8>>< >>: y0(x) = y(y(x)), y(x0) = x0, x0 2 [−1, 1], (1) par principe de contraction. Plus tard, M. Feckan [19] a étudié l’équation différentielle général 2-ème itérative 8 >>< >>: y0(x) = f(y(y(x))), y(0) = 0, (2) et obtenu la solution locale appliquant le principe de contraction. En utilisant le théorème du point fixe de Schauder, Wang [35] a obtenu les solutions de l’équation (2) associées à y(a) = a, où a est un point final d’un intervalle bien défini. Par conséquent, Ge et Mo [20] ont fourni les conditions suffisantes pour le problème de valeur initiale de (2) associé à y(x0) = y0, sur un intervalle compact donné, où les extrémités de l’intervalle sont deux points nuls adjacents de f. La 2-ème équation non autonome 8>>< >>: y0(x) = f(x, y(x), y(y(x))), y(0) = c, c > 0, (3) a été étudié par P. Andrzej [1] en utilisant l’approximation successive de Picard, où 0 est l’extrémité gauche du domaine. Dans notre mémoire, nous nous intéressons aux travaux de EL-Sayed A.M.A et Ebead H.R [18, 17] où ils ont étudié le problème (P) 8>>< >>: d dtx(t) = f(t, x(g(t, x(t)))), t 2 [0, T] x(0) = x0 2 [0, T], (4) Sous deux conditions différentielles sur la fonction retard g donée comme suit (1) g : [0, T] × R+ ! [0, T] est une fonction continue et g(t, x(t)) 6 t. (2) g : [0, T] × R+ ! [0, T] est une fonction continue et g(t, x(t)) 6 x(t). Le travail de ce mémoire est alors divisé en trois chapitres principaux : Introduction ? Dans le premier chapitre : ce titre qui nommé préliminaire nous avons donné quelques définitions et théorèmes par exemple : — Théorème du point fixe de schauder. — Théorème d’Arzela-Ascoli. ? Dans le deuxième chapitre, nous avons étudié l’existence et l’unicité de la solution, et sa dépendance continue sur les données initiales positives d’un problème de valeur initiale d’une équation différentielle avec retard dépendant t, et l’unicité de cette solution : (P) 8>>< >>: d dtx(t) = f(t, x(g(t, x(t)))), t 2 [0, T] x(0) = x0 2 [0, T], (5) ou g : [0, T] × R+ ! [0, T] est une fonction continue et g(t, x(t)) 6 t. ? Dans le troisième chapitre, nous traitons l’existence et l’unicité de la solution unique positive d’un problème de valeur initiale d’une équation différentielle avec retard auto-référence (dépendant x(t)) i.e. g : [0, T] × R+ ! [0, T] est une fonction continue et g(t, x(t)) 6 x(t) .