Sur un problème d’évolution régi par un opérateur dépendant du temps et de l’état

Abstract

Les mathématiques consistent d’abord en un langage, qui permet de transcrire des problèmes de nature quantitative : c’est la modélisation. Une fois cette transcription faite, des outils sont disponibles pour comprendre et résoudre les problèmes issus des phénomènes du monde réel qui utilise les lois de la physique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme, etc...), ces lois sont, généralement, écrites sous la forme de bilans qui se traduisent mathématiquement par des Équations Différentielles Ordinaire ou par des Équations aux dérivées partielles. Aujourd’hui, la théorie des équations différentielles (univoques et multivoque) est devenue plus importante et plus attirante. Son champ d’application s’est considérablement développé, et s’est avéré Fructueuse dans de nombreux domaines comme : la mécanique unilatérale, l’économie mathématiques, les sciences de l’ingénieur (circuit électrique non régulier), etc..., plus récemment, elle est devenue une des méthodes importantes pour l’étude des inégalités variationnelles d’évolution. Ce mémoire représente mon premiers pas dans le domaine de la recherche, ceci par la lecture, l’étude et le détail des résultats dans les articles [3]; [9]; [15], partant sur l’existence et l’unicité de solutions pour certaines classes d’inclusions différentielles du premier ordre régies par un opérateur maximale monotone dans [3]; [15] dépendant du temps et dans [9] dépendant du temps et de l’état. Les opérateurs monotones (en générale, multivoques), jouent un rôle très important dans beaucoup de domaines mathématiques. Notons, par exemple l’optimisation (Les sous différentielles des fonctions propres convexes et semi continues inférieurement sont des opérateurs maximaux monotones). Tout sa a abouti à une large étude de ces opérateurs. Puisque la nature d’un opérateur monotone peut être assez difficile à manipuler, soit du point de vue théorique, soit du point de vue numérique, de nombreux auteurs se sont

intéressés à chercher des approximations ou régularisations d’un opérateur, pour obtenir à partir d’un opérateur monotone donné, un autre qui a plus de propriétés régulière par exemple la régularité de Yosida. Les problèmes gouvernés par les opérateurs maximaux monotones constituent une classe importante d’inclusions différentielles. Ce type de problème a été d’abord étudié lorsque l’opérateur A ne dépend pas du temps. En 1971, H.Brezis [7] utilise la méthode de la régularisation de Yosida pour démontrer l’existence et l’unicité d’une solution Lipschitzienne de l’inclusion (P1) 8>< >: ð€€€u_ (t) 2 Au(t); p:p:t 2 [0;+1[ u(0) = u0 2 D(A): Où A : D(A) H H est un opérateur maximal monotone et H est un espace de Hilbert. Plusieurs résultats ont suivi avec diverses classes de perturbations.Voir par exemple [4]; [18] et leurs références pour d’autres Théorèmes. Une continuation aux travaux cité ci-dessus, donne naissance à l’étude de problèmes dévolution gouvernés par des opérateurs maximaux monotones dépendant du temps, c’est à dire les problèmes qui se présentent sous la forme (P2) 8>< >: ð€€€u_ (t) 2 A(t)u(t); p:p:t 2 I u(0) = u0 2 D(A(0)): Citons par exemple [2]; [3]; [15]. Dans [15], les auteurs on montré l’existence de solution à variation bornée et absolument continue pour le problème (P2) avec une condition utilisant une pseudo-distance introduite par Vladimirov [18]. Dans le cas où A dépend du temps et de l’état, plusieurs travaux ont généralisé les travaux cité ci-dessus et les problèmes se présentent sous la forme (P3) 8>>>>< >>>>: ð€€€u_ (t) 2 A(t; x(t))u(t); p:p:t 2 I u(t) 2 D(A(t; x(t))); 8t 2 I u(0) = u0 2 D(A(0; x(0))): où x(t) = x0 + Z t 0 u(s)ds; t 2 I: Ces type de problèmes est dit aussi problème de second ordre par rapport à l’état x. 8 Introduction De nombreux travaux peuvent être trouvés dans la litérature voir par exemple [9]; [11]. Un bref schéma du contenu présenté dans ce mémoire peut se décrire comme suit : On commence par des notations et quelques espaces usuels qu’on utiliser a tout au long de ce mémoire. Le premier chapitre est intitulé "Préliminaires", il réunit un ensemble de Définitions, Propositions et Théorèmes sur l’analyse fonctionnelle ansi que le propriétés fondamentales des opérateurs maximaux monotones dans un espace de Hilbert, et d’autres bagages mathématiques qui vont nous servir de clé dans les chapitres qui suivent. Dans le deuxième chapitre intitulé "Existence de solutions pour une inclusion du premier ordre gouvernée par un opérateur dépendant du temps" on donne un résultat d’existence et d’unicité pour le problème (P2) dans le cas où t 7! A(t) est absolument continue au sens de Vladimirov. On a essayé de détailler le papier de Azzam et all . Ce résultat se trouve aussi dans la référence [15] avec des démonstrations différentes. On suit l’algorithme de discrétisations donné dans [3]. Le troisième chapitre intitulé "Existence de solutions pour une inclusion différentielle du premier ordre gouvernée par un opérateur dépendant du temps et de l’état" est une continuation de travail établi dans le deuxième chapitre c’est-à -dire c’est un travail qui utilise le résultat du deuxième chapitre. En effet, on s’intéresse à l’étude de l’existence de solution pour le problème (P3) dans un espace de Hilbert séparable H. On essaye de détailler une partie du papier de Castaing et al dans [9], concernant l’existence de solution pour une inclusion différentielle du premier ordre gouvernée par un opérateur maximale monotone dépendant du l’état et de temps, on peut dire aussi inclusion différentielle du second ordre par rapport à l’état x