Résumé:
Le but principal de ce travail est de détailler un article de M. Allaoui, A. Amrouss
et A. Ourraoui intitulé : Existence and uniqueness of solution for p(x)-Laplacian
problems [2].
Dans cet article, il s’agit d’étudier l’existence d’une solution faible pour le problème
elliptique faisant intervenir l’opérateur dit p(x)-Laplacien soumis à la condition de Dirichlet
suivant 8
<
:
p(x)u = f(x; u) dans
;
u 2 W1;p(x)
0 (
);
(1)
où
RN est un ouvert lipschitzien de RN; p est une fonction continue sur
telle
que inf
x2
ess p(x) > 1: C’est l’objet du troisième chapitre où nous avons démontré, sous
certaines hypothèses sur la fonction donnée f; un résultat d’existence et d’unicité de la
solution faible du problème (1). Ceci nécessite des connaissances préalables des espaces
de Sobolev construits à base des espaces de Lebesgue à exposant variable.
On commence alors au chapitre 1, par étudier l’espace de Lebesgue généralisé, c’est-à -
dire l’espace suivant
Lp(x)(
) =
u :
! R mesurable :
Z
j u(x) jp(x) dx < 1
;
où
RN est un ensemble mesurable et p 2 L1(
) telle que inf
x2
ess p(x) 1: Dans ce
chapitre, nous abordons les principales propriétés de cet espace, telles que : complétude,
séparabilité et réflexivité. Nous démontrons également les propriétés de base du module
convexe.
Au chapitre 2, nous donnons la définition de l’espace de Sobolev généralisé W1;p(x)(
);
qui est défini par
W1;p(x)(
) =
n
u 2 Lp(x)(
) :
@u
@xj
2 Lp(x)(
)N j = 1; ::::::;N
o
;
et nous présentons quelques unes de ses propriétés. On s’est restreint sur celles qui nous
sont utiles dans le chapitre 3.
