Existence et unicité de solution pour un problème de p-Laplacien

Abstract

Le but principal de ce travail est de détailler un article de M. Allaoui, A. Amrouss et A. Ourraoui intitulé : Existence and uniqueness of solution for p(x)-Laplacian problems [2]. Dans cet article, il s’agit d’étudier l’existence d’une solution faible pour le problème elliptique faisant intervenir l’opérateur dit p(x)-Laplacien soumis à la condition de Dirichlet suivant 8 < : ð€€€ p(x)u = f(x; u) dans ; u 2 W1;p(x) 0 ( ); (1) où RN est un ouvert lipschitzien de RN; p est une fonction continue sur telle que inf x2

ess p(x) > 1: C’est l’objet du troisième chapitre où nous avons démontré, sous certaines hypothèses sur la fonction donnée f; un résultat d’existence et d’unicité de la solution faible du problème (1). Ceci nécessite des connaissances préalables des espaces de Sobolev construits à base des espaces de Lebesgue à exposant variable. On commence alors au chapitre 1, par étudier l’espace de Lebesgue généralisé, c’est-à -

dire l’espace suivant Lp(x)( ) =

u : ! R mesurable : Z

j u(x) jp(x) dx < 1

; où RN est un ensemble mesurable et p 2 L1( ) telle que inf x2

ess p(x) 1: Dans ce chapitre, nous abordons les principales propriétés de cet espace, telles que : complétude, séparabilité et réflexivité. Nous démontrons également les propriétés de base du module convexe. Au chapitre 2, nous donnons la définition de l’espace de Sobolev généralisé W1;p(x)( ); qui est défini par W1;p(x)( ) = n u 2 Lp(x)( ) : @u @xj 2 Lp(x)( )N j = 1; ::::::;N o ; et nous présentons quelques unes de ses propriétés. On s’est restreint sur celles qui nous sont utiles dans le chapitre 3.