Résumé:
Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressées à la résolution des problèmes de
programmation semi-définie (SDP) par la méthode de trajectoire centrale. Nous avons
associé à (SDP) un problème perturbé, noté (SDP) : Tout d’abord, nous avons montré
l’existence et l’unicité de la solution optimale du problème (SDP) ; ensuite nous avons
montré que la solution du problème perturbé (SDP) converge vers la solution optimale
du problème original (SDP) lorsque tend vers zéro. Puis, nous avons prouvé, en appliquant
une méthode simple et facile, la diminution de la fonction objective sur la suite
déterminée par notre algorithme.
Le problème (SDP) étant strictement convexe, les conditions KKT sont nécessaires et
suffisantes. Pour cela ,nous avons utilisé la méthode de Newton qui nous permet de calculer
une bonne direction de descente et de déterminer une nouvelle itération, mieux que
celle d’actualité.
Pour calculer le pas de déplacement, plusieurs méthodes ont été proposées par les scientifiques
et les chercheurs. Y compris, méthodes de recherche linéaire, qui sont très coûteuses
et impraticables. Pour remédier ce problème, nous avons proposé dans ce travail
une nouvelle approche : nous donnons quatre nouvelles alternatives pour calculer le pas
de déplacement par une méthode simple, facile et techniquement beaucoup moins coûteuse.
Enfin, nous avons analysé la convergence de l’algorithme obtenu et montré que la
complexité pour les pas courts est borné par O(
p
n ln["1(hX0; S0i)]) itérations.
Pour enrichir notre contribution, nous avons présenté des simulations numériques pour
montrer l’efficacité de notre approche et la convergence des quatre alternatives à la solution
optimale du problème. Ces simulations confirment que la quatrième alternative est
meilleure que les autres en termes de nombre d’itérations
