Sur l’étude théorique d’un problème d’optimisation semi-définie par la méthode primale-duale de (TC)

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressées à la résolution des problèmes de programmation semi-définie (SDP) par la méthode de trajectoire centrale. Nous avons associé à (SDP) un problème perturbé, noté (SDP) : Tout d’abord, nous avons montré l’existence et l’unicité de la solution optimale du problème (SDP) ; ensuite nous avons montré que la solution du problème perturbé (SDP) converge vers la solution optimale du problème original (SDP) lorsque tend vers zéro. Puis, nous avons prouvé, en appliquant une méthode simple et facile, la diminution de la fonction objective sur la suite déterminée par notre algorithme. Le problème (SDP) étant strictement convexe, les conditions KKT sont nécessaires et suffisantes. Pour cela ,nous avons utilisé la méthode de Newton qui nous permet de calculer une bonne direction de descente et de déterminer une nouvelle itération, mieux que celle d’actualité. Pour calculer le pas de déplacement, plusieurs méthodes ont été proposées par les scientifiques et les chercheurs. Y compris, méthodes de recherche linéaire, qui sont très coûteuses et impraticables. Pour remédier ce problème, nous avons proposé dans ce travail une nouvelle approche : nous donnons quatre nouvelles alternatives pour calculer le pas de déplacement par une méthode simple, facile et techniquement beaucoup moins coûteuse. Enfin, nous avons analysé la convergence de l’algorithme obtenu et montré que la complexité pour les pas courts est borné par O( p n ln["ð€€€1(hX0; S0i)]) itérations. Pour enrichir notre contribution, nous avons présenté des simulations numériques pour montrer l’efficacité de notre approche et la convergence des quatre alternatives à la solution optimale du problème. Ces simulations confirment que la quatrième alternative est meilleure que les autres en termes de nombre d’itérations