Sur l’ équation fonctionnelle P( f ) = f (P) dans un corps non archimédien.

Abstract

Ce mémoire est réparti sur l’introduction générale et trois chapitres. Dans le premier chapitre, on commence par la construction du corps des nombres complexe p-adique Cp. Ce corps est le complété de la clôture algébrique du corps des nombres p-adiques Qp. Ensuite, on présente les propriétés topologiques et analytiques de Cp et on cite par exemple le fait que le 6 Introduction cercle est un ensemble ouvert. On termine ce chapitre par une représentation des séries entières complexes p-adiques. Dans le deuxième chapitre, on s’intéresse à la distribution des zéros des fonctions p-adiques. Au début, on énonce une méthode qui nous permet d’étudier la distribution des zéros d’un polynôme (module maximum). Cette méthode s’étend d’une manière naturelle au fraction rationnelle, Puis, on donne quelques résultats sur la distribution des zéros d’un polynôme. Ainsi, on étudie la distribution des zéros des fonctions analytiques (resp. méromorphes) p-adiques. A la fin de ce chapitre, on présente la distribution des zéros de la composition f 1. Le dernier chapitre est consacré à l’étude de la permutabilité des fonctions entières et méromorphes dans Cp. On commence à donner la version p-adique du Théorème 6 dans[2]. On montre que si f une fonction entière transcendante p-adique et P un polynôme à coeffcients dans Cp tel que P o f = f o P, alors P(z) est de la forme az où a 2 Cp est une racine d’unité. Ce résultat est différent du résultat de cas complexe où Baker a montré que P(z) est de la forme az + b. Puis, nous essayons de généraliser ce résultat pour les fonctions méromorphes et on prend P une fraction rationnelle et f une fonction méromorphe transcendante sur Cp.