Résumé:
Étant donné un espace topologique X et une famille de sous-ensembles de X. Dans
ce mémoire, nous étudions les propriétés topologiques et algébriques de C (X) l’espace
de toutes les fonctions continues à valeurs réelles sur un espace topologique X muni
d’une topologie set-open. Nos principaux résultats indiquent que C (X) est un espace
vectoriel topologique si et seulement s’il est un groupe topologique, si seulement si est
une famille d’ensembles R-compact. En particulier si C (X) est un groupe topologique,
alors la topologie set-open coïncide avec la topologie de convergence uniforme sur la
famille . Par la suite, on donne les principaux résultats dans le cadre de la topologie
set-open faible C (X). Alors C (X) est un espace vectoriel topologique si et seulement
si groupe topologique si et seulement si est une famille de sous-ensembles borné de X.
En particulier si C (X) est un espace vectoriel topologique, alors la topologie set-open
faible coïncide avec la topologie de convergence uniforme sur la famille
