Théorème de Picard p-adique

Abstract

Ce mémoire est reparti sur trois chapitres précédé d’une introduction. Dans le premier chapitre, on commence par quelques rappels des notions fondamentales du corps non archimédienne muni d’une norme ultra métrique. Ensuite, on construit le corps des nombres complexes p-adiques Cp. Après, on présente aussi les propriétés topologiques et analytiques de Cp et on cite par exemple le fait qu’une série converge si et seulement si son terme général tend vers zéro. On termine ce chapitre par les fonctions analytiques complexes p-adiques. Le deuxième chapitre est réparti sur deux parties. Dans le premier partie on commence par l’inégalité de Cauchy et l’évaluation M(r, f(x)) pour un polynôme et pour une fonction entière transcendent. En suite, on donne la définition de l’ordre des fonctions entières transcendent. À la fin de ce partie, on va démontrer le théorème de Picard dans C pour les fonctions entières transcendent d’ordre fini entier (resp. fini non entier). Le but principal du deuxième partie est de présenter le Théorème de picard p-adique. Pour cela on a besoin d’un outil important "Polygône de valuation", qui détermine la distribution des zéros des fonctions entières et qui joue un grand rôle pour établir la formule de Jense