Condition Inf-Sup pour l'élément ni de Taylor-Hood appliqué aux équations de Maxwell

Abstract

On commencera dans un premier temps (chapitre 1), par rappeler quelques fondamentaux des espaces de Sobolev et plus particulièrement on présentera les espaces H(rot, Ω) et H(div, Ω) et leurs propriétés. Ces espaces permettent de poser le cadre fonctionnelle nécessaire à une formulation variationnelle des équations de Maxwell. On présentera aussi au chapitre 1, les problèmes mixtes et la condition Inf-Sup (condition de Babuska-Brezzi) assurant l'existence et l'unicité de ce type de problème. Le lemme de Fortin sera lui aussi donné et démontré. Au chapitre 2, on démontrera l'existence et l'unicité des équations de Maxwell quasiélectrostatiques dans le cas continu telle donnée dans la première partie de l'article de (P. Ciarclet, V.Girault 2002). On montrera que la condition Inf-Sup est véri ée sur les espaces H0(rot, Ω) ∩ H(div, Ω) × L 2 (Ω). En n, au chapitre 3, on considère une approximation par une méthode d'éléments nis de type Taylor-Hood P2-iso-P1. En se basant sur le lemme de Fortin, et comme cela a été fait dans le deuxième partie de l'article de (P. Ciarclet, V.Girault 2002), on essayera de démontrer une condition Inf-Sup discrète. L'idée de la démonstration est de partir d'une condition Inf-Sup locale sur chaque triangle T dépendant du paramètre de maillage h de la triangulation (lemme 3.2.1) et de montrer une condition Inf-Sup sur un macro-élément (ici un Hexaèdre) indépendante du paramètre h grâce à la régularité du maillage. Ensuite, on déduit une condition Inf-Sup globale permettant d'assurer l'existence et l'uni3 Introduction 4 cité de la solution du problème discret pour les espaces X∗ h (dont les fonctions ont des divergences de moyenne nulle) et Q∗ h (dont les fonctions sont de moyenne nulle). On conclura, en usant des mêmes arti ces utilisés au cas continue (chapitre2) pour démonter la condition Inf-Sup sur les espaces de discrétisation de Taylor-Hood P2-iso-P1.