Analyse Numérique des Equations de Navier-Stokes

Abstract

L’objectif de ce mémoire est de détailler quelques parties de l’article [9], en particulier la partie concernant la discrétisation spectrale du problème continu ainsi que l’estimation d’erreur à priori. Ce mémoire est structuré de la façon suivante : Dans le premier chapitre de ce travail, on donne les principales propriétés des espaces de Sobolev [1], des polynômes de Legendre, ensuite on donne les principales estimation d’erreur d’approximation et d’interpolation polynomiale de aux nœuds de la formule de quadrature de Gauss-Lobatto en normes des espaces de Sobolev usuels sur Λ d [11] [14]. Dans le deuxième chapitre, nous considérons les équations de Navier-Stokes dans un domaine borné bi ou tri-dimensionnel munies de conditions aux limites non usuelles portant sur la composante normale de la vitesse et les composantes tangentielles du tourbillon. Nous proposons une formulation variationnelle de ce problème comportant trois inconnus indépendantes : la vitesse, la pression et le tourbillon. Cette formulation a été proposé dans [18] et [27] pour le problème de Stokes (voir aussi [19], [2] et [3]). En s’appuyant sur cette formulation, nous présentons les principaux outils fonctionnels qui permettent de déduire que les équations admettent une solution sans restriction sur la régularité du domaine en dimension 2 et faible limitation en dimension 3. Notons cependant que ce résultat d’existence n’est établi que sur certaine conditions sur la viscosité et la donnée f en dimension 3. Vu la non linéarité du problème on a recours pour cela au théorème de Brouwer. L’objet du troisième chapitre est la discrétisation spectrale du problème de NavierStokes. Pour discrétiser le problème, on utilise la méthode de Galerkin avec intégration numérique, c’est-à-dire on remplace l’espace continu par un espace de dimension finie, et les intégrales exactes par une formule de quadrature. Nous utilisons ensuite le théorème de Brezzi-Rapaz-Raviart [16] pour prouver que le problème est bien posé et qu’il admet une solution localement unique. De plus, nous établissons des majorations quasi-optimales de l’erreur pour les trois inconnus en dimension 2 tout en combinant les résultats dans [16]