Résumé:
Notre travail va ˆetre d´ecompos´e en trois chapitres, dans le premier, on d´efinit les espaces de
Sobolev appropri´es pour l’´etude de ce type des ´equations aux d´eriv´ees partielles elliptiques,
on rappelle quelques propri´et´es utiles dans la suite comme la notion de trace, les formules de
Green et le Th´eor`eme de compacit´e de Rellich. A la fin on ´enonce le fameux lemme de LaxMilgram qui permettra de d´eduire l’existence et l’unicit´e d’une solution variationnelle de notre
probl`eme.
Le chapitre 2, on a pour but de donner une formulation variationnelle du probl`eme, ainsi
de montrer l’existence d’une unique solution variationnelle dans un sous-espace vectoriel de
H1
(Ω1) × H2
(Ω2) en appliquant le lemme de Lax-Milgram.
Dans le chapitre 3, on s’int´eresse `a la r´egularit´e de la solution obtenue au chapitre 2. D’abord,
pour des donn´ees int´erieures dans L
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et ensuite pour des donn´ees plus r´eguli`eres. On donne
une d´ecomposition de la solution variationnelle de notre probl`eme en une partie r´eguli`ere avec
la r´egularit´e optimale et une partie singuli`ere :
~u = ~uR + C~uS,
telle que :
• ~uR est la partie dont le comportement n’a pas ´et´e affect´e par la pr´esence des coins, et
qui appartient `a H2
(Ω1) × H4
(Ω2).
• ~uS est la partie singuli`ere donn´ee explicitement.
• C est un coefficient de singularit´e qui d´epend continˆument des donn´ees de notre probl`eme.
L’id´ee est de d´ecomposer notre probl`eme en deux probl`emes d´ecoupl´es, notamment le probl`eme
de Laplace et le bilaplacien, et d’utiliser les r´esultats de d´ecompositions pour des probl`emes
aux limites non homog`enes pour chaque probl`eme.
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Dans la deuxi`eme partie, pour des donn´ees plus r´eguli`eres, en utilisant une proc´edure it´erative
et un argument de perturbation en plus des propri´et´es de Fredholm, la solution variationnelle
est d´ecompos´ee de la mˆeme fa¸con mais cette fois avec une partie r´eguli`ere plus r´egulier, c-`a-d
dans Hs1+1(Ω1) × Hs2+2(Ω2) avec des conditions sur s1 et s2.
