Résumé:
Notre mémoire est composé de quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les
fondements de la théorie spectrale concernant un certain type d'opérateurs autoadjoints dits
à résolvante compacte. Dans le deuxième chapitre, cette théorie sera appliquée à l'étude des
valeurs propres et des fonctions propres des équations aux dérivées partielles. On s'intéressera
particulièrement au problème de Sturm-Liouville et au problème du laplacien avec condition
de Dirichlet. Les résultats de ce chapitre seront utilisés au chapitre trois pour résoudre des
problèmes d'évolution en temps. On analysera des équations instationnaires de type parabolique
avec comme exemple l'équation de la chaleur, et de type hyperbolique avec comme exemple
l'équation des ondes. En n, une Annexe vient compléter ce manuscrit, comprenant des rappels
sur les notions de base utilisées le long du mémoire telles que les opérateurs bornés, les espaces
de Sobolev et les espaces de fonctions à valeurs vectorielles
