Quelques applications de la théorie spectrale des opérateurs autoadjoints a résolvante compact

Abstract

Notre mémoire est composé de quatre chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les fondements de la théorie spectrale concernant un certain type d'opérateurs autoadjoints dits à résolvante compacte. Dans le deuxième chapitre, cette théorie sera appliquée à l'étude des valeurs propres et des fonctions propres des équations aux dérivées partielles. On s'intéressera particulièrement au problème de Sturm-Liouville et au problème du laplacien avec condition de Dirichlet. Les résultats de ce chapitre seront utilisés au chapitre trois pour résoudre des problèmes d'évolution en temps. On analysera des équations instationnaires de type parabolique avec comme exemple l'équation de la chaleur, et de type hyperbolique avec comme exemple l'équation des ondes. En n, une Annexe vient compléter ce manuscrit, comprenant des rappels sur les notions de base utilisées le long du mémoire telles que les opérateurs bornés, les espaces de Sobolev et les espaces de fonctions à valeurs vectorielles