Espaces topologiques métrisables

Abstract

Ce mémoire a pour objectif faire une étude sur les espaces topologiques métrisables et leurs propriétés, il est divisé en trois chapitres. Dans le premier chapitre nous commençons par rappeler les notions classiques d’un espace topologique (ouvert, voisinage, base), la notion d’application continue et la notion d’homéomorphisme qui joue un rôle très important dans le transfert des propriétés topologiques d’un espace à un autre. Puis nous donnons les différents axiomes de séparation concernant la séparation de points ou de fermés, du point de vue soit de voisinages, soit de fonctions continues réelles, sans oublier la notion de compacité qui est importante car elle permet de passer d’une information locale sur un ensemble (comme la continuité d’une fonction) à une information globale sur l’ensemble (comme la continuité uniforme d’une fonction). Dans le deuxième chapitre nous considérons les espaces métriques pour pouvoir y interpréter les notions et les théorèmes établis pour les espaces topologiques. Enfin, dans le dernier chapitre, nous allons discuter quelque théorèmes principaux de métrisabilité tel que le théorème de Nagata-smirnov, le théorème d’Urysohn, et le théorème d’Aleksandrov-Uryshon. Ensuite, nous l’avons suivi avec quelques conséquences de métrisabilité.