Abstract:
Ce travail est structuré en trois chapitres :
Dans le premier chapitre, nous présentons les principales propriétés des espaces de Sobolev
[1], quelques rappels d'analyse fonctionnelle et les principales propriétés des espaces
discrets [5][6][7]. Nous donnons aussi dans ce chapitre les principales estimations d'erreur
d'approximation et d'interpolation polynomiale aux noeuds de la formule de quadrature de
Gauss-Lobatto en normes des espaces de Sobolev usuels sur ] 1; 1[d [5][8].
Dans le deuxiéme chapitre, nous considérons le probléme de Brinkman dans un domaine
borné tri-dimensionnel, muni de conditions aux limites de Dirichlet sur la vitesse. D'abord,
nous commencons par présenter le probéme de Brinkman avec viscosité constante. Nous
proposons pour le probl eme continu une formulation variationnelle qui comporte trois inconnus
: la vitesse, le tourbillon et la pression, puis nous démontrons l'existence et l'unicité
de la solution gr^ace aux théorémes de Banach-Necas-Babuska [4][19] et de Babuska-Brezzi
[17]. Ensuite, nous présentons le probléme de Brinkman avec viscosité variable, en particulier,
nous détaillons la premiére partie de l'article [3]. La formulation variationnelle comporte
également les trois inconnus, la vitesse, le tourbillon et la pression. Puisque la viscosité est
variable, il apparait des termes supplémentaires dans la formulation variationnelle et par
conséquent cette formulation devient non-symétrique et cela pose un probléme de manque
de coercivité. A fin de remédier a ce probléme, nous écrivons une formulation variationnelle
augment ee équivalente a la formulation variationnelle initiale, a n de démontrer l'existence
et l'unicité de la solution en utilisant les théorémes de Lax-Milgram [2] et de Babuska-Brezzi.
L'objet du troisiéme chapitre est la discrétisation du probléme de Brinkman avec viscosité
constante quand le domaine est le cube unitaire. Pour discr etiser ce probl eme, nous
utilisons une méthode spectrale, c'est- a-dire, nous remplacons l'espace continu par un espace
de dimension nie et les intégrales exactes par une formule de quadrature [8][11][13].
Nous démontrons que le probléme discret est bien posé, c'est a dire, qu'il admet une solution
unique grace aux th eorémes de Banach-Ncas-Babuska et de Babuska-Brezzi. Finalement,
nous établissons des majorations d'erreur a priori pour les trois inconnus, entre la solution
continue et la solution discréte.
