Analyse mathématique d'une formulation non-symétrique pour les équations de Brinkman

Abstract

Ce travail est structuré en trois chapitres : Dans le premier chapitre, nous présentons les principales propriétés des espaces de Sobolev [1], quelques rappels d'analyse fonctionnelle et les principales propriétés des espaces discrets [5][6][7]. Nous donnons aussi dans ce chapitre les principales estimations d'erreur d'approximation et d'interpolation polynomiale aux noeuds de la formule de quadrature de Gauss-Lobatto en normes des espaces de Sobolev usuels sur ] ð€€€ 1; 1[d [5][8]. Dans le deuxiéme chapitre, nous considérons le probléme de Brinkman dans un domaine borné tri-dimensionnel, muni de conditions aux limites de Dirichlet sur la vitesse. D'abord, nous commencons par présenter le probéme de Brinkman avec viscosité constante. Nous proposons pour le probl eme continu une formulation variationnelle qui comporte trois inconnus : la vitesse, le tourbillon et la pression, puis nous démontrons l'existence et l'unicité de la solution gr^ace aux théorémes de Banach-Necas-Babuska [4][19] et de Babuska-Brezzi [17]. Ensuite, nous présentons le probléme de Brinkman avec viscosité variable, en particulier, nous détaillons la premiére partie de l'article [3]. La formulation variationnelle comporte également les trois inconnus, la vitesse, le tourbillon et la pression. Puisque la viscosité est variable, il apparait des termes supplémentaires dans la formulation variationnelle et par conséquent cette formulation devient non-symétrique et cela pose un probléme de manque de coercivité. A fin de remédier a ce probléme, nous écrivons une formulation variationnelle augment ee équivalente a la formulation variationnelle initiale, a n de démontrer l'existence et l'unicité de la solution en utilisant les théorémes de Lax-Milgram [2] et de Babuska-Brezzi. L'objet du troisiéme chapitre est la discrétisation du probléme de Brinkman avec viscosité constante quand le domaine est le cube unitaire. Pour discr etiser ce probl eme, nous utilisons une méthode spectrale, c'est- a-dire, nous remplacons l'espace continu par un espace de dimension nie et les intégrales exactes par une formule de quadrature [8][11][13]. Nous démontrons que le probléme discret est bien posé, c'est a dire, qu'il admet une solution unique grace aux th eorémes de Banach-Ncas-Babuska et de Babuska-Brezzi. Finalement, nous établissons des majorations d'erreur a priori pour les trois inconnus, entre la solution continue et la solution discréte.