Sur le comportement des solutions de certains modèles de systèmes d’équations aux différences

Abstract

Dans ce mémoire on a étudié les deux systèmes d’équations aux différences d’ordre deux suivants : xn+1 = a1xn + b1xnð€€€1 1 + yp1 n yq1 nð€€€1 ; yn+1 = a2yn + b2ynð€€€1 2 + zp2 n zq2 nð€€€1 ; zn+1 = a3zn + b3znð€€€1 3 + xp3 n xq3 nð€€€1 ; n 2 N; (3.45) où les valeurs initiales xð€€€1, x0, yð€€€1, y0, zð€€€1, z0 et les paramétres ai, bi, i, i = 1; 2; 3; sont des nombres réel positifs, pi; qi 2 N , i = 1; 2; 3: xn+1 = xnynð€€€1 yn ð€€€ + ; yn+1 = ynznð€€€1 zn ð€€€ + ; zn+1 = znxnð€€€1 xn ð€€€ + ; n 2 N; (3.46) où le paramètre et les valeurs initiales xð€€€i, yð€€€i, zð€€€i, i = 0; 1 sont des nombres réels non nuls. Pour le système (3.45), on s’est intéressé à la stabilité de ces deux points d’équilibres. Pour le point (0; 0; 0) des conditions suffisantes pour la stabilité globale ont été établis, cependant une conjecture sur l’instabilité du deuxième point d’équilibre E2 = ð€€€ p3+q3 p a3 + b3 ð€€€ 3; p1+q1 p a1 + b1 ð€€€ 1; p2+q2 p a2 + b2 ð€€€ 2

a été mise en évidence. Pour le système (3.46), on a réussi à donner des formules explicites des solutions bien définies. De plus, on se basant sur ces formules on a donné des conditions pour l’existence des solutions périodiques. 46