Le filtre de kalman polynomiale étude, analyse et application

Abstract

Nous présentons dans cette mémoire une contribution à l‟élaboration d‟un Algorithme de masquage chaotique, en se basant sur une estimation polynomiale exacte via le filtre de Kalman considéré comme un observateur non-linéaire. Cet Algorithme est très utilisé dans le domaine de la télécommunication pour la qualité de son comportement en régime transitoire, plusieurs méthode de modélisations non-linéaires ont été proposées dans la littérature, les premiers travaux de recherche sur ce sujet de synchronisation chaotique n‟ont pas pris en considération le bruit (bruits dynamique et de mesure). Quelques années plus tard l‟idée d‟utiliser deux oscillateurs chaotiques est introduite, et par conséquent le problème de la synchronisation en présence du bruit dans la théorie des systèmes de commandes peut être vu comme l‟estimation de l‟état , en premier temps le filtrage de Kalman peut être appelé pour pallier à ce problème, mais il est uniquement optimale pour les systèmes linéaires, pour le cas non-linéaire la majorité des méthodes font des approximations du modèle. Chronologiquement la première approche a été le Filtre de Kalman Étendu (EKF) qui repose sur un développement en série de Taylor des équations de processus et d‟observation pour calculer les approximations linéaire de la moyenne et la covariance de l‟état estimé. Cette solution demeure acceptable si le degré de la non linéarité est faible, ainsi on peut conclure que plus le système est fortement non-linéaire, comme la dynamique chaotique, les approximations présentent des erreurs importantes d‟estimation qui limite l‟utilisation du filtre (EKF). Une autre méthode plus correcte d‟approximation a été développée par Julier à la fin des années 90 du dernier siècle (le filtre UKF) et qui est défini à l‟aide d‟une transformation non-linéaire de statistique appelée Unscented. Ainsi cette approche se base sur une constellation de points (sigma points), distribués dans l‟espace d‟état initiale pour approximer sa statistique. plus récemment une nouvelle méthode proposée par Luca (ExPKF), exploite toute la série de Taylor pour exprimer d‟une façon exacte jusqu‟à l‟ordre deux, les statistiques de la variable aléatoire (v.a) résulte de cette transformation polynômiale, l‟inconvénient de cette méthode et que d‟un coté les expressions formant l‟algorithme récursif de filtrage de Kalman sous une forme matricielle compacte. simulation . En fait l‟efficacité de L‟algorithme ExPKF réside dans l‟effet qu‟il est estime d‟une manière exacte les statistiques, pour ce faire nous avons élargi cette exactitude à l‟approximation des modèles non linéaire non polynomial par l‟approche de Tchebychev. Les performances de ce nouvelle méthode (algorithme) sont comparé avec des filtre classiques tels que le EKF et UKF .