Suites log-concave de fonctions symétriques

Abstract

Ce mémoire contient trois chapitres. Le premier chapitre, regroupe les notions des fonctions symétriques, tableaux de Young, la fonction de Schur et le déterminant de Jacobi-Trudi, ainsi le lien entre eux. Nous abordons aussi les outils de base de combinatoire : factorielle, combinaison, permutation, série génératrice...etc. Au deuxième chapitre, nous introduisons les suites qui sont des spécialisations de la fonction symétrique élémentaire et complète, en particulier les nombres de Stirling de première et de deuxième espèce seront présentés avec quelques identités remarquables. Au dernier chapitre, nous prouvons que les di érentes suites de fonctions symétriques élémentaires et complètes sont forte log-concaves, ce qui nous permet d'établir la q-logconcavité forte de certaines suites de coe cients q-binomiaux et nombres de q-Stirling. La principale technique utilisée est une interprétation combinatoire des déterminants utilisant des chemins de réseau dus à Gessel et Viennot [14]. Les résultats établis dans ce chapitre sont dus au travail de Sagan [18].