Résumé:
Ce travail présente une étude approfondie des modèles mathématiques appliqués à l’épidémiologie, avec
un accent particulier sur les modèles compartimentaux tels que SIR et SEIR. Il commence par un aperçu
historique de l’épidémiologie mathématique, en mettant en lumière les contributions pionnières de
chercheurs comme Bernoulli, Ross, Kermack et McKendrick.
Ensuite, il expose les fondements théoriques des modèles SIR (Susceptibles – Infectés – Rétablis) et
SEIR (ajout d’un compartiment Exposé), décrivant leur structure, leurs équations différentielles, et
l’importance de paramètres-clés comme le taux de reproduction de base R₀, utilisé pour évaluer le
potentiel de propagation d’une maladie.
Des simulations numériques sont présentées afin d'illustrer l'évolution temporelle des différentes
populations (S, I, R, E) selon les paramètres. Ces simulations permettent de visualiser l'impact de
différents scénarios (avec ou sans intervention) sur l'évolution d’une épidémie.
Le travail intègre également une étude de cas du COVID-19 en Algérie, analysée à travers le modèle
SIR, en tenant compte des données de propagation, guérison, mortalité, et des courbes d’évolution
correspondantes.
Enfin, le document aborde les principes de la commande optimale, notamment à travers l’application de
la théorie du contrôle sur les modèles SIR, avec des stratégies de vaccination et traitement. À l’aide du
principe du maximum de Pontryagin, les conditions optimales sont formulées pour minimiser les
infections et les coûts d’intervention. Des résultats de simulation sont fournis pour comparer différentes
politiques sanitaires (sans contrôle, vaccination seule, traitement seul, combinaison des deux).
