Analyse mathématique et numérique des équations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux bords sur la pression

Abstract

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’analyse mathématique et numérique du problème de Stokes instationnaire dans un domaine tridimensionnel borné avec des conditions aux bords mixtes. Après avoir introduit une formulation variationnelle, on montre l’existence et l’unicité de la solution faible. On propose aussi une approximation numérique par une méthode spectrale non conforme. On montre la condition inf-sup pour le couple d’espaces discrets, ainsi que la convergence optimale des solutions discrètes.

Une autre contribution de cette thèse est l’analyse numérique des équations de Navier-Stokes instationnaires dans un domaine bidimensionnel avec des conditions aux bords mixtes. On propose un schéma d’approximation en combinant la méthode de projection et la méthode de Galerkin discontinue pour la discrétisation temporelle et spatiale, respectivement. On introduit une méthode pour établir les inégalités de Poincaré- Friedrichs discrètes, ce qui nous permet de donner des majorations pour le terme non linéaire et de montrer la stabilité du schéma numérique ainsi que la convergence optimale de la vitesse discrète.