Sur l’approximation de la vraisemblance d’un processus gaussien

Abstract

L'objectif de ce travail est de présenter les différentes méthodes pour exprimer la vraisemblance d'un processus aléatoire gaussien facile à utiliser dans le cadre de l'estimation des paramètres d'un modèle et pour développer des tests d'hypothèses sur ce modèle. On sait que même en temps discret les problèmes de calcul de vraisemblance ne sont jamais simples. Ainsi, nous nous sommes intéressés à l'étude de deux méthodes classiques d'approximation de la vraisemblance d'un processus gaussien. La première, appelée méthode de Whittle, utilise la représentation spectrale d'un processus gaussien, historiquement appelée périodogramme. Elle est essentiellement basée sur la transformée de Fourier d'un processus. La seconde, due à Box et Jenkins, est de loin la plus populaire et la plus utilisée. Ces auteurs utilisent la forme innovation de la vraisemblance en remplaçant la forme quadratique dans l'exposant par ce qu'ils appellent la somme des carrés inconditionnelle. On constate que cette somme de carrés n'est pas directement calculable car les innovations dépendent des observations avant l'instant d'origine. Ces valeurs initiales sont calculées par backcast et sont utilisées dans une procédure itérative pour calculer la somme des carrés inconditionnelle. Cependant, une méthode de détermination moins heuristique des valeurs initiales, appelée algorithme d'aller-retour. Finalement, nous démontrons dans le cas d'un ARMA(1,1) la convergence de cet algorithme.