Indicateur d’erreur pour l’équation de Stokes

Abstract

Ce mémoire est structuré de la façon suivante : Dans le premier chapitre, nous rassemblons les notions et les résultats que nous utilisons fréquemment tout au long de ce manuscrit. Nous donnons des brèves définitions de quelques espaces fonctionnels, notamment, les espaces de Sobolev. Ensuite, on rappelle un résultat abstrait pour les problèmes mixtes comme le problème de Stokes aussi la condition ’inf-sup’ continue. Puis, nous donnons des brèves descriptions de la méthode des éléments finis ensuite nous donnons un résultat d’approximation abstrait et la condition ’inf-sup’ discrète pour notre problème. Dans la dernière section de ce chapitre, nous présentons les propriétés de l’analyse a posteriori résiduel, notamment, la fiabilité et l’efficacité. Puis, nous regroupons les outils de l’analyse, c’est à dire, les fonctions bulles et les inégalités inverses locales qu’on utilise pour montrer l’efficacité de l’analyse. Au deuxième chapitre, nous commençons par l’étude de l’équation du problème de Stokes, où nous allons introduire la formulation variationnelle et nous montrons que le problème variationnel est bien posé puis nous vérifions l’équivalence entre le problème continu et le problème variationnel, ensuite nous donnons un résultat d’existence. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la discrétisation de notre problème c’est à dire on présente le problème discret puis un résultat pour l’existence et l’unicité de la solution avec sa stabilité. Dans le dernier chapitre, nous présentons dans la première section l’estimation d’erreur a priori entre la solution exacte u et la solution approchée uh. Dans la deuxième section, nous nous intéressons à l’estimation d’erreur a posteriori où nous écrivons l’équation de "résidu" pour l’erreur. Et, on définit l’indicateur d’erreur "par résidu". On montre que cet indicateur vérifie la propriété de fiabilité et d’efficacité. Enfin, nous déduisons que l’optimalité de l’indicateur assure l’équivalence entre l’erreur et l’estimateur d’erreur a posteriori. Mots Clés: Équations de Stokes et sa discrétisation par éléments finis, Estimation d’erreur a priori et a posteriori, EDP et applications