Etude comparative des différents schémas numériques pour le problème de Stokes

Abstract

Leséquations de Stokes régissent les écoulements lents des fluides incompressibles. L'approximation des solutions de ce système d'équations a fait l'objet de nombreuses recherches et les résultats proposés dans ce mémoire n'en représentent qu'une partie très limitée. La méthode des éléments finis sera notre méthode adoptée a n d'approximer les solutions et parmi les formulations faibles (équivalentes) déjà existantes, on considèrera la formulation vitesse-pression. Dans le chapitre 1, on verra que cette formulation fait partie de la classe des problèmes du "point-selle". On montrera l'importance de la condition "infsup" qui va jouer un role essentiel au niveau continu et discret. Le plus grand intérét de cette condition est qu'elle permettra de construire des schémas de discrétisation bien posés et dont les solutions convergent optimalement. Dans le chapitre 2, on présentera quelques éléments fi nis "mixtes" stables pour l'approximation du problème de Stokes, notamment l'élément de Crouzeix-Raviart, Taylor-Hood et les éléments de Scott-Vogelius. Les résultats de stabilité et de convergence seront démontrés pour la plupart de ces éléments. A la fi n, on mettra le point sur des résultats assez récents [16] montrant l'impact de la contrainte de la divergence nulle sur la simulation. En n, au troisième chapitre, on verra comment construire des schémas numériques reposant sur des discrétisations de Galerkin généralisées et permettant d'échapper à la condition inf-sup, il s'agit des méthodes de stabilisation. Une propriété intéressante relatives à ces méthodes est que la famille des éléments finis mixtes ayant un ordre d'interpolation égal seront permis et mêmes favorables, contrairement au cas de la formulation vitesse-pression ou ces éléments sont instables. Mots Clés: Formulation faible, problèmes du point-selle, Schémas numériques relatifs, la stratégie des couples compatibles, EDP et Applications