Méthodes asymptotiques pour la résolution d’une classe d’équations différentielles d’ordre deux

Abstract

Ce but et pour fournir une présentation qui facilite l’accès à ce mémoire, nous décomposons le travail en trois chapitres: Dans le premier chapitre, nous allons présenter quelques notions de bases des équations différentielles et des défi nitions élémentaires, ensuite nous donnons quelques résultats sur les séries de puissance. Nous terminons ce chapitre par quelques notions d'analyse asymptotique, tels que les relations de comparaisons et les séries asymptotiques, sans oublier la méthode de l'équilibre dominant qui est l'outil principal de résolution asymptotique des équations différentielles. Dans le deuxièmes chapitre, notre objectif sera de trouver des méthodes générales pour trouver des solutions approximatives, au voisinage d'un point x0, aux équations différentielles linéaires homogènes d'ordre deux. Notre stratégie dépendra de la question de savoir si x0 est un point ordinaire, un point singulier régulier ou un point singulier irrégulier de l'équation différentielle. Ce chapitre couvrira les cas d'un point ordinaire et un point singulier régulier, ou nous appuyons dans ces cas sur les séries de Taylor et les séries de Frobenius. Dans le dernier chapitre nous expliquons comment utiliser la méthode de l'équilibre dominant pour déterminer le comportement asymptotique, au voisinage d'un point singulier irrégulier, des solutions d'une équation différentielle homogène d'ordre deux, puis la méthode de trouver l'expansion asymptotique complète. Mots Clés: Méthodes asymptotiques, Séries de puissances, Notions d'analyse asymptotique, Analyse Fonctionnelle