Résumé:
L approximation d une fonction f (connue ou non) par un polynôme est une démarche
naturelle que l on rencontre dans divers contexte en analyse : lorsque f est assez régulière, elle permet d analyser le comportement local (développement de Taylor) mais aussi dans certain cas d approcher globalement ou par morceaux la fonction par un polynôme d interpolation (par exemple).
Dans ces deux situations la précision avec laquelle on peut approcher f par un polynôme
dépend de la régularité de la fonction.
A l inverse, avec une hypothèse de régularité relativement faible, le théorème de Weierstrass nous assure que l on peut approcher uniformément toute fonction continue sur un intervalle compact, d aussi presque l on veut, par un polynôme.
Dans ce travail, on a traité le problème dans les deux sens pratique et théorique ; on a com-mencé avec l interpolation polynomiale où nous considérons les questions d existence, d unicité et même la procédure de calcul le polynôme interpolant f:
Le théorème de Weierstrass nous amène a chercher théoriquement un certain polynôme qui nous donne une meilleure approximation c.est à dire avec une différence d erreur assez petite avec la norme de la convergence uniforme et de la norme quadratique ; pour cette raison on a définie la projection orthogonale dans un espace préhilbertien sur un espace de dimension fini, alors que l interpolation est une projection seulement linéaire sur l espace des polynômes.
Pratiquement, on a vu que la théorie d approximation (respectivement d interpolation) est
entièrement liée au dimension de l espace où on fait l approximation (X = Pndans notre cas) et par suite avec des système d équation linaires. On a commencé par un système où la matrice est pleine avec un déterminant de Vandermonde (Lagrange), puis un système triangulaire inferieure (Newton) et finalement avec une matrice tridiagonale.
