Fonctions à variations bornées

Abstract

Introduction généraleLes fonctions à variations bornées d’une variable unique ont été introduites par CamilleJordan, dans l’article (Jordan 1881) traitant de la convergence des séries de Fourier. Lapremière étape réussie dans la généralisation de ce concept à des fonctions de plusieursvariables est réalisée par Leonida Tonelli, qui a introduit une classe de continues à variationsbornées fonctions en 1926 ( Cesari 1986), pour étendre sa méthode directe pour trouver dessolutions aux problèmes dans le calcul des variations dans plus d’une variable.Les fonctions à variations bornées, ainsi que les fonctions absolument continues jouent unrôle important dans l’analyse des fonctions de plusieurs variables, les équations différentiellespartielles, calcul des variations...Dans l’analyse mathématique, une fonction à variation bornée, également connue sousle nom de fonction VB, est une fonction à valeur réelle dont la variation totale est bornée(finie), le graphe d’une fonction ayant cette propriété est bien comporté dans un sens précis.Pour une fonction continue d’une seule variable, la variation linéaire signifie que la distancele long de la direction de l’axey, en négligeant la contribution du mouvement sur l’axex,parcourue par un point se déplaçant le long du graphique a une valeur finie.Les fonctions à variations bornées sont précisément celles concernant lesquelles on peuttrouver les intégrales de Riemann-Stieltjes de toutes les fonctions continues.