Contribution à l’étude de la mesure de Mahler de certaines courbes de genre ≤ 3

Abstract

Ce mémoire est consacré à la mesure de Mahler de polynômes non réciproques définissant des courbes (hyper-elliptiques) de genre 1, 2 et 3. Dans le premier chapitre, on rappelle certains résultats sur la mesure de Mahler de certains polynômes à une indéterminée. Dans le deuxième chapitre, après des brefs rappels sur les courbes elliptiques, le dilogarithme de Bloch et Wigner et la fonction régulateur, on donne une des premières formules explicites sur la mesure de Mahler en deux dimensions. Puis, on introduit deux nouvelles familles de polynômes à deux variables non réciproques définissant des courbes de genre un, sur lesquelles on teste la conjecture de Boyd. Dans la dernière partie de ce chapitre, nous donnons des équations différentielles satisfaites par un polynôme de deux variables. Enfin, dans le troisième chapitre, on donne une explication de certains résultats numériques de Boyd sur des familles de courbes de genre 2, puis on teste à nouveau la conjecture de Boyd sur une nouvelle famille de polynômes non réciproques définissant des courbes de genre 3.