Le premier Théorème de Nevanlinna p-adique et ses applications

Abstract

Ce mémoire est réparti sur l’introduction générale et trois chapitres. Dans le premier chapitre, on commence par donner quelques rappels des notions fondamentales du corps normés en cas général puis on définit la norme non archimedienne et on signale quelques propriétés des corps non archimediens. En suite, on construit le corps 6 7 des nombres p-adique Qp qui est le complété de Q muni de la norme p-adique (|.|p) et on étudie plus tard les propriétés analytiques et topologiques de ce corps. Comme la clôture algébrique de Qp n’est pas un espace complet, nous avons besoin de le complété pour former un corps plus grand noté Cp complet et algébriquement clos. Dans le deuxième chapitre, nous rappelons le premier théorème de Nevanlinna au cas complexe, en suite nous présentons une partie importante qui est le polygone de valuation qui détermine la distribution des zéros des fonctions analytiques. Puis, on fait un analogue du premier théorème de Nevanlinna sur le corps Cp associée a trois fonctions ; m(r, f) = log+ |f|(r) - la fonction de compensation, N(r, f) - la fonction qui compte les pôles des fonctions méromorphes avec leurs multiplicités et T(r, f) = m(r, f)+N(r, f) -la fonction caractéristique de Nevanlinna qui est positive et croissante. Ces fonctions sont utilisées pour donner une version p-adique de la formule de Jensen qui est la base du première théorème de Nevanlinna. En fin, on présente certaines propriétés des fonctions méromorphes et de leurs dérivées. Dans le troisième chapitre, on s’intéresse à l’application de la théorie de Nevanlinna p-adique aux équations fonctionnelles linéaires traitées par N.Boudjerida (et autres) [20] en 2010 et par S.Bourourou (et autres) [21] en 2016. En particulier nous étudions les équations fonctionnelles aux q-différences de la forme Xs i=0 gi(x)y(q ix) = h(x) où q ∈ K, 0 < |q| < 1 et h(x), g0(x). . . gs(x) (s ≥ 1) sont des fonctions méromorphes tel que g0(x)gs(x) 6= 0. Dans le cas p-adique Comme dans le cas complexe, on utilise la fonction caractéristique de Nevanlinna pour caractériser la taille des solutions méromorphes de ces équations et étudier le comportement et l’ordre de croissance de ces solutions.