Résumé:
Ce mémoire est constitué de trois chapitres. Dans le premier, nous rappelons quelques
notions, définitions et théorémes que nous avons utilis´es dans la démonstration de certaines
propositions et théorémes necessaires.
Dans le deuxi`eme chapitre, nous donnons un r´esultat d’existence de la solution pour une
´equation diff´erentielle du premier ordre de la forme :
2
(P2)
x˙(t) = Ax(t) + f(t, u(t))
x(0) = v,
ou` A est le g´en´erateur infinit´esimal d’un semi groupe uniform´ement continue avec H et U sont
des espace de Hilbert et f : [0, T] × U → H une application. Apr`es nous d´emontrons quelques
propri´et´es de la solution du probl`eme (P2).
Dans le troisi`eme chapitre, nous d´efinissons un probl`eme bien pos´e, puis nous ´etudions la
convexit´e et la Gˆateaux diff´erentiabilit´e de la fonction quadratique :
J˜
z
∗ =
R T
0
[< x − y
∗
, P(x − y
∗
) >H + < u − w
∗
, Q(u − w
∗
) >U (t)dt]+ <
x(T) − ψ
∗
, E(x(T) − ψ
∗
) >H .
et z
∗ = (y
∗
, w∗
, ψ∗
) ∈ Z = L
2
(H) × L
2
(U) × H, et P, Q, et E sont des op´erateurs .
Dans la derni`ere partie, nous ´etudions l’´equivalence entre le probléme bien-pos´e et l’affinit´e
de la l’application f par rapport `a la variable controle.
