Probl`eme de contrˆole optimal dans un espace de Hilbert

Abstract

Ce mémoire est constitué de trois chapitres. Dans le premier, nous rappelons quelques notions, définitions et théorémes que nous avons utilis´es dans la démonstration de certaines propositions et théorémes necessaires. Dans le deuxi`eme chapitre, nous donnons un r´esultat d’existence de la solution pour une ´equation diff´erentielle du premier ordre de la forme : 2

(P2)    x˙(t) = Ax(t) + f(t, u(t)) x(0) = v, ou` A est le g´en´erateur infinit´esimal d’un semi groupe uniform´ement continue avec H et U sont des espace de Hilbert et f : [0, T] × U → H une application. Apr`es nous d´emontrons quelques propri´et´es de la solution du probl`eme (P2). Dans le troisi`eme chapitre, nous d´efinissons un probl`eme bien pos´e, puis nous ´etudions la convexit´e et la Gˆateaux diff´erentiabilit´e de la fonction quadratique : J˜ z ∗ = R T 0 [< x − y ∗ , P(x − y ∗ ) >H + < u − w ∗ , Q(u − w ∗ ) >U (t)dt]+ < x(T) − ψ ∗ , E(x(T) − ψ ∗ ) >H . et z ∗ = (y ∗ , w∗ , ψ∗ ) ∈ Z = L 2 (H) × L 2 (U) × H, et P, Q, et E sont des op´erateurs . Dans la derni`ere partie, nous ´etudions l’´equivalence entre le probléme bien-pos´e et l’affinit´e de la l’application f par rapport `a la variable controle.