Résumé:
Dans ce travail de mémoire de n d'études, nous allons aborder les méthodes mixtes
et hybrides pour les équations aux dérivées partielles. La caractéristique principale pour
ce type de formulations de problèmes aux limites réside dans le fait qu'ils font intervenir
deux champs inconnus dont l'un joue le rôle de multiplicateur de Lagrange associé à une
contrainte. Aussi, la diffculté pour ce genre de problème est que les deux champs inconnus ne peuvent être dissociés.
Pour démontrer l'existence et l'unicité de la solution pour ces formulations mixtes, la
théorie de Babuska et Brezzi est bien adaptée. Le but de ce mémoire et d'expliquer cette
théorie. Pour cela nous allons, dans un premier temps, rappeler quelques notions fondamentales d'analyse fonctionnelle, à savoir les espaces de Sobolev et plus particulièrement l'espace H(div; ) ainsi que l'espace L2()=R.
Dans un deuxième temps, nous présenterons deux exemples très répandus de problèmes
mixtes : le système de Stokes et le problème de Darcy. On donnera les formulations variationnelles
associées à chacun des deux exemples. Au chapitre trois, qui constitue l'essentiel
de notre travail, on présentera la théorie générale de Babuska et Brezzi, qui permet d'établir l'existence, l'unicité et la dépendance par rapport aux données des problèmes mixtes. On montera, l'origine de la fameuse condition inf-sup
Aussi, on considérera une formulation discrète basée sur la méthode de Galerkin et
on lui adaptera la théorie développée pour le cas continu. On montrera que la condition
inf-sup discrète ne se déduit pas forcément de la condition inf-sup du cas continu. En n,
on abordera le théorème de Fortin, qui donnera un critère fort utile pour démonter la
condition inf-sup uniforme pour les formulations mixtes discrètes.
Au dernier chapitre, la théorie dévellopée au chapitre trois est appliquée au système
de Stokes
