Méthodes mixtes et hybrides pour les équations aux dérivées partielles

Abstract

Dans ce travail de mémoire de n d'études, nous allons aborder les méthodes mixtes et hybrides pour les équations aux dérivées partielles. La caractéristique principale pour ce type de formulations de problèmes aux limites réside dans le fait qu'ils font intervenir deux champs inconnus dont l'un joue le rôle de multiplicateur de Lagrange associé à une contrainte. Aussi, la diffculté pour ce genre de problème est que les deux champs inconnus ne peuvent être dissociés. Pour démontrer l'existence et l'unicité de la solution pour ces formulations mixtes, la théorie de Babuska et Brezzi est bien adaptée. Le but de ce mémoire et d'expliquer cette théorie. Pour cela nous allons, dans un premier temps, rappeler quelques notions fondamentales d'analyse fonctionnelle, à savoir les espaces de Sobolev et plus particulièrement l'espace H(div; ) ainsi que l'espace L2()=R. Dans un deuxième temps, nous présenterons deux exemples très répandus de problèmes mixtes : le système de Stokes et le problème de Darcy. On donnera les formulations variationnelles associées à chacun des deux exemples. Au chapitre trois, qui constitue l'essentiel de notre travail, on présentera la théorie générale de Babuska et Brezzi, qui permet d'établir l'existence, l'unicité et la dépendance par rapport aux données des problèmes mixtes. On montera, l'origine de la fameuse condition inf-sup Aussi, on considérera une formulation discrète basée sur la méthode de Galerkin et on lui adaptera la théorie développée pour le cas continu. On montrera que la condition inf-sup discrète ne se déduit pas forcément de la condition inf-sup du cas continu. En n, on abordera le théorème de Fortin, qui donnera un critère fort utile pour démonter la condition inf-sup uniforme pour les formulations mixtes discrètes. Au dernier chapitre, la théorie dévellopée au chapitre trois est appliquée au système de Stokes