Résumé:
Ce mémoire est partagé en trois chapitres ; dans le Chapitre 1 nous avons donné
toutes les définitions et les propriétés dont nous avons eu besoin ; c’est à dire quelques
résultats sur la compacité dans les espaces topologiques et métriques plus précisément,
et aussi nous avons parlé de la continuité des multi-applications. Et nous complétons ce
chapitre avec quelques caractérisations de la distance de Hausdorff .
Dans le Chapitre 2, nous avons présentées quelques théories concernant la convergence des ensemble, et nous avons parlé des limites supérieure et inférieure qui elles même
sont exprimées en termes de convergence des suites d’ensembles. C’est à dire le but de les
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Table des matières 6
utiliser pour démontrer certaines des propriétés que nous avons discutées dans le chapitre
suivant.
Enfin ; dans le Chapitre 3 les ensembles X et Y seront munis de topologies séparés,
et nous étudions en détail trois concepts de continuité locale pour les multi-applications :
semicontinuité superieure, semicontinuité inférieure et semicontinuité extérieure. La semicontinuité exterieure (resp. inférieure) d’une multi-application F en un point x0 peut
être décrite en termes de limites supérieures (resp. inférieures) des valeurs de fonctions
introduites avec des familles de points (xλ)λ∈∆ au voisinage du point x0 : F est semicontinue extérieurement (resp. inférieurement)au point x0 donnée à chaque fois que (xλ)λ∈∆
converge vers x0, nous avons F(x0) ⊂ lim sup F(xλ)(resp. F(x0) ⊂ lim inf F(xλ). La semicontinuité extérieure globale est égale à la fermeture du graphe de F en tant que sous
ensemble de X × Y . La semicontinuité inférieure en x0 peut être reformulée comme suit ;
"l’image inverse" de chaque voisinage V de F(x0) contient un voisinage de x0. où l’on
définit l’image inverse de V comme l’ensemble des points x tels que F(x) ∩ V 6= ∅. Si au
contraire , nous prenons pour image inverse de V l’ensemble des points x tels que F(x)
est contenue dans V , alors on obtient ce qu’on appelle la semicontinuité supérieure.
De toute évidence ; les semicontinuités inférieure et supérieure se réduisent toutes deux
à la continuité ordinaire pour les fonctions à valeurs uniques, alors que la semicontinuité
exterieure correspond à quelque chose de plus faible.
